Question

如图，过圆x²+y²=4与x轴的两个交点A、B，作圆的切线AC、BD，再过圆上任意一点H作圆的切线，交AC、BD于C、D两点，设AD、BC的交点为R，
(1)求动点R的轨迹E的方程；
(2)过曲线E的右焦点F作直线l交曲线E于M、N两点，交y轴于P点，且记=λ₁，=λ₂，求证：λ₁+λ₂为定值．

Answer 1

解：(1)设点H的坐标为(x₀，y₀)，则x+y=4，
由题意可知y₀≠0，且以H为切点的圆的切线的斜率为：-，
故切线方程为：y-y₀=-(x-x₀)，
展开得x₀x+y₀y=x₀²+y₀²=4，
即以H为切点的圆的切线方程为：x₀x+y₀y=4，
∵A(-2，0)，B(2，0)，
将x=±2代入上述方程可得点C，D的坐标分别为C(-2，)，D(2，)，
则l_AD：，①，
及l_BC：，②
将两式相乘并化简可得动点R的轨迹E的方程为：x²+4y²=4，即+y²=1。
(2)由(1)知轨迹E为焦点在x轴上的椭圆且其右焦点为F(，0)，
(ⅰ)当直线l的斜率为0时，M、N、P三点在x轴上，
不妨设M(2，0)，N(-2，0)，且P(0，0)，
此时有|PM|=2，|MF|=2-，|PN|=2，|NF|=2+，
所以λ₁+λ₂=；
(ⅱ)当直线l的斜率不为0时，设直线MN的方程是：x=my+(m≠0)，
则点P的坐标为(0，-)，
且设点M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，
联立消去x可得：(m²+4)y²+2my-1=0，
则y₁+y₂=，y₁y₂=，
λ₁+λ₂==-8(定值)．