【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 若a1=1,且Sn=tan﹣ ,其中n∈N*.
(1)求实数t的值和数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=log3a2n , 求数列{ }的前n项和Tn .
【答案】
(1)解:当n=1时,a1=S1=ta1﹣ ,由a1=1,即1=t﹣ ,
解得:t= ,
∴Sn= an﹣ ,
当n≥2时,Sn﹣1= an﹣1﹣ ,
∴an=Sn﹣Sn﹣1=( an﹣ )﹣( an﹣1﹣ ),即an=3an﹣1,
∴数列{an}是以1为首项,以3为公比的等比数列,
∴an=a1qn﹣1=3n﹣1,
当n=1时,an=3n﹣1,成立,
∴数列{an}的通项公式an=3n﹣1
(2)解:由(1)可知:bn=log3a2n=log332n﹣1=2n﹣1,
= = ( ﹣ ),
数列{ }的前n项和Tn,Tn= (1﹣ )+ ( ﹣ )+…+ ( ﹣ ),
= (1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ),
= (1﹣ ),
= ,
数列{ }的前n项和Tn=
【解析】(1)由当n=1时,a1=S1=ta1﹣ ,由a1=1,即1=t﹣ ,即可求得t的值,Sn= an﹣ ,当n≥2时,Sn﹣1= an﹣1﹣ ,an=Sn﹣Sn﹣1 , 整理得:an=3an﹣1 , 数列{an}是以1为首项,以3为公比的等比数列,根据等比数列的通项公式求得数列{an}的通项公式;(2)由(1)可知:bn=log3a2n=log332n﹣1=2n﹣1, = = ( ﹣ ),利用“裂项法”即可求得数列{ }的前n项和Tn .
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点,需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题.
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【题目】如图所示,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1B1B为正方形,BB1C1C为菱形,B1C⊥AC1 .
(Ⅰ)求证:平面AA1B1B⊥平面BB1C1C;
(Ⅱ)若D是CC1中点,∠ADB是二面角A﹣CC1﹣B的平面角,求直线AC1与平面ABC所成角的余弦值.
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【题目】某中学准备在开学时举行一次高三年级优秀学生座谈会,拟请20名来自本校高三(1)(2)(3)(4)班的学生参加,各班邀请的学生数如下表所示;
班级 | 高三(1) | 高三(2) | 高三(3) | 高三(4) |
人数 | 4 | 6 | 4 | 6 |
(1)从这20名学生中随机选出3名学生发言,求这3名学生中任意两个均不属于同一班级的概率;
(2)从这20名学生中随机选出3 名学生发言,设来自高三(3)的学生数为,求随机变量的概率分布列和数学期望.
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【题目】若关于x的不等式|x+a|≤b的解集为[﹣6,2].
(1)求实数a,b的值;
(2)若实数m,n满足|am+n|< ,|m﹣bn|< ,求证:|n|< .
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【题目】现有5名男生、2名女生站成一排照相,
(1)两女生要在两端,有多少种不同的站法?
(2)两名女生不相邻,有多少种不同的站法?
(3)女生甲不在左端,女生乙不在右端,有多少种不同的站法?
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【题目】已知函数f(x)=xlnx+ax(a∈R).
(Ⅰ)当a=0,求f(x)的最小值;
(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)+lnx在区间[1,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)过点P(1,﹣3)恰好能作函数y=f(x)图象的两条切线,并且两切线的倾斜角互补,求实数a的取值范围.
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【题目】已知椭圆 的左右焦点分别为,直线经过椭圆的右焦点与椭圆交于两点,且.
(I)求直线的方程;
(II)已知过右焦点的动直线与椭圆交于不同两点,是否存在轴上一定点,使?(为坐标原点)若存在,求出点的坐标;若不存在说明理由.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,AB⊥PA,BC=2AB=2AD=4BE,平面PAB⊥平面ABCD,
(Ⅰ)求证:平面PED⊥平面PAC;
(Ⅱ)若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为 ,求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值.
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【题目】已知函数 ,该函数所表示的曲线上的一个最高点为,由此最高点到相邻的最低点间曲线与轴交于点.
(1)求函数解析式;
(2)求函数的单调区间;
(3)若,求的值域.
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