Question

设A、B两点坐标分别为（1，0）、（-1，0），若k_MA·k_MB=-1，求动点M的轨迹方程.

Answer 1

解：设M的坐标为（x,y），M属于集合P={M|k_MA·k_MB=-1}.由斜率公式，点M所适合的条件可表示为-1·=-1(x≠±1)，整理，得x²+y²=11x≠±1).下面证明x²+y²=1(x≠±1)是点M的轨迹方程.

（1）由求方程的过程，可知M的坐标都是方程x²+y²=1(x≠±1)的解；

（2）设点M₁的坐标（x₁,y₁）是方程x²+y²=1(x≠±1)的解，

即x₁²+y₁²=1(x₁≠±1)，y₁²=1-x₁²(x₁≠±1),-1·=-1,

∴k·k=-1.

由上述证明，可知方程x²+y²=1(x≠±1)是点M的轨迹方程.