Question

17．数列{a_n}中，a_n＞0，若S₁²，S₂²，…，S_n²，…是一个以1为首项，2为公差的等差数列，求a_n．

Answer 1

分析 由已知求出${S}_{n}=\sqrt{2n-1}$．求出a₁，再利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求得答案．

解答 解：∵S₁²，S₂²，…，S_n²，…是一个以1为首项，2为公差的等差数列，
∴${{S}_{n}}^{2}=1+2（n-1）=2n-1$，
∵a_n＞0，
∴${S}_{n}=\sqrt{2n-1}$．
当n=1时，a₁=S₁=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\sqrt{2n-1}-\sqrt{2（n-1）-1}$=$\sqrt{2n-1}-\sqrt{2n-3}$．
a₁=1不适合上式．
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\sqrt{2n-1}-\sqrt{2n-3}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查等差数列的通项公式，训练了利用数列的前n项和求数列的通项公式，是基础题．