Question

已知x，y，z∈R，有下列不等式：
（1）x²+y²+z²+3≥2（x+y+z）；（2）

x+y

2

≥

xy

；（3）|x+y|≤|x-2|+|y+2|；（4）x²+y²+z²≥xy+yz+zx．
其中一定成立的不等式的序号是

 

．

Answer 1

分析：由x²+y²+z²+3-2（x+y+z）=（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²≥0 知（1）成立，通过举反例可得（2）不成立，由|x-2|+|y+2|≥|（x-2 ）+（y+2）|=|x+y|，可知（3）成立，由x²+y²+z²-（xy+yz+zx）=

(x-y)2+(y-z)2 +(x-z)2

2

≥0  可得（3）成立．

解答：解：∵x²+y²+z²+3-2（x+y+z）=（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²≥0，故有x²+y²+z²+3≥2（x+y+z），故（1）成立．
当x，y中，一个为正数，而另一个为负数时，（2）不成立．
由不等式的性质得|x-2|+|y+2|≥|（x-2 ）+（y+2）|=|x+y|，故（3）成立．
x²+y²+z²-（xy+yz+zx）=

(x-y)2+(y-z)2 +(x-z)2

2

≥0，故（4）成立．
综上，（1） （3） （4） 正确，
故答案为  （1） （3） （4）．

点评：本题考查平均值不等式的性质，以及绝对值不等式的性质得应用．