【题目】已知函数,,.
(1)若,,求函数的单调区间;
(2)设.
(i)若函数有极值,求实数的取值范围;
(ii)若(),求证:.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
(1)求出的导数,解关于导函数的方程,从而求出函数的单调区间即可;
(2)(i)=,定义域为(0,+∞),,对a分类讨论结合极值的概念得到实数的取值范围;
(ii) 不妨取,欲证,只需证明.
(1)当,时,,定义域为,
.
令,得;令,得.
所以函数的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).
(2)(i) =,定义域为(0,+∞),
,
①当时,,函数在(0,+∞)上为单调递增函数,
不存在极值.
②当时,令,得,,
所以,易证在上为增函数,
在上为减函数,所以当时,取得极大值.
所以若函数有极值,实数的取值范围是.
(ii)由(i)知当时,不存在,使得,当时,存在,使得,不妨取,
欲证,只需证明.
因为函数在上为减函数,故只需证,
即证,即证.
令,
则.
设,则,
因为,,所以在上为减函数,
,
所以在上为增函数,所以,
即,故成立.
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【题目】如图,椭圆经过点,且点到椭圆的两焦点的距离之和为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若是椭圆上的两个点,线段的中垂线的斜率为且直线与交于点,为坐标原点,求证:三点共线.
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【题目】下面个说法中正确的序号为_____.
①函数有两个零点;
②函数的图象关于点对称;
③若是第三象限角,则的取值集合为;
④锐角三角形中一定有;
⑤已知(且),同一平面内有、、、四个不同的点,若,则、、必定三点共线.
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【题目】如图,已知函数,点、分别是的图象与轴、轴的交点,、分别是的图象上横坐标为、的两点,轴,且、、三点共线.
(1)求函数的解析式;
(2)若,,求;
(3)若关于的函数在区间上恰好有一个零点,求实数的取值范围.
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【题目】已知函数,函数是函数的反函数.
求函数的解析式,并写出定义域;
设,判断并证明函数在区间上的单调性:
若中的函数在区间内的图像是不间断的光滑曲线,求证:函数在区间内必有唯一的零点(假设为),且.
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【题目】实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比 赛,规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛).
⑴试求甲打完5局才能取胜的概率.
⑵按比赛规则甲获胜的概率
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