Question

已知二次函数y=g（x）的导函数的图象与直线y=2x平行，且y=g（x）在x=-1处取得极小值m-1（m≠0）．设f（x）=

g(x)

x

．若曲线y=f（x）上的点P到点Q（0，2）的距离的最小值为

2

，求m的值．

Answer 1

分析：根据函数的形式及函数的极小值，设出g（x），求出g（x）的导函数，根据导函数是函数的斜率，列出方程，求出a的值；写出函数f（x），设出点P的坐标，利用两点距离公式表示出|PQ|²，利用基本不等式求出最小值，通过对m的符号的讨论，求出m的值．

解答：解：依题可设g（x）=a（x+1）²+m-1（a≠0），
则g′（x）=2ax+2a；
又g′（x）的图象与直线y=2x平行   
∴2a=2     
解得a=1
∴g（x）=x²+2x+m，
∵f(x)=

g(x)

x

=x+

m

x

+2，
设P（x₀，y₀），则|PQ|2=x02+(y0-2)2=2x02+

m2

x02

+2m
≥2

2m2

+2m=2

2

|m|+2m
当且仅当2x02=

m2

x02

时，|PQ|²取得最小值，即|PQ|取得最小值

2

当m＞0时，

(2 2 +2)m

=

2

   解得m=

2

-1
当m＜0时，

(-2 2 +2)m

=

2

 解得m=-

2

-1

点评：本题考查函数在切点处的导数值是切线的斜率；利用基本不等式求函数的最值时，一定要注意需满足的条件是：一正、二定、三相等．