【题目】已知函数.
(1)当时,证明函数是增函数;
(2)是否存在实数,使得只有唯一的正数,当时恒有:,若这样的实数存在,试求、的值,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)详见解析;(2)存在实数,只有唯一值满足题意.
【解析】
(1)求出函数的导数,构造函数,利用导数证明出,可得出,从而证明出函数是增函数;
(2)取得出,由可得出,构造函数,由得出,然后分和两种情况讨论,结合结合已知条件得出和的值.
(1),.
令,则,
因此,函数为增函数,,
故,因此,函数是增函数;
(2)取,可知.
.
令,,
由于.
①当时,
时,,函数在区间上为减函数,
时,,函数在区间上为增函数,
,
令,因此存在唯一的正数,使得,
故只能.
,,
时,,函数在区间上为减函数,
时,,函数在区间上为增函数,
,此时只有唯一值.
②当时,,则函数为增函数,
,解得,故.
(i)给定时,满足的不唯一;
(ii)时,满足的只能.
但时满足且,因此时,值也不唯一.
综上,存在实数,只有唯一值,当时,恒有:.
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【题目】[选修4—4:坐标系与参数方程]:在直角坐标系中,直线的参数方程为(t为参数,),以坐标原点为极点,以x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为,已知直线与曲线C交于不同的两点A,B.
(1)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)设P(1,2),求的取值范围.
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【题目】已知圆的圆心为,且直线与圆相切,设直线的方程为,若点在直线上,过点作圆的切线,切点为.
(1)求圆的标准方程;
(2)若,试求点的坐标;
(3)若点的坐标为,过点作直线与圆交于两点,当时,求直线的方程.
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【题目】在三棱锥P﹣ABC中,D为AB的中点.
(1)与BC平行的平面PDE交AC于点E,判断点E在AC上的位置并说明理由如下:
(2)若PA=PB,且△PCD为锐角三角形,又平面PCD⊥平面ABC,求证:AB⊥PC.
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【题目】如图所示,在四棱锥中,底面是矩形,平面,AB 1,AP AD 2.
(1)求直线与平面所成角的正弦值;
(2)若点M,N分别在AB,PC上,且平面,试确定点M,N的位置.
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