Question

（2006•西城区二模）如图，四棱锥S-ABCD中，平面SAC与底面ABCD垂直，侧棱SA、SB、SC与底面ABCD所成的角均为45°，AD∥BC，且AB=BC=2AD．
（1）求证：四边形ABCD是直角梯形；
（2）求异面直线SB与CD所成角的大小；
（3）求直线AC与平面SAB所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）过S作SO⊥AC于O，由平面和平面垂直的性质定理，得出SO⊥平面ABCD，继而侧棱SA、SB、SC与底面ABCD所成的角均为45°得出AO=BO=CO=SO，从而∠ABC=90°，根据梯形定义即可证明．
（2）建立空间坐标系如图，使Ox⊥AB，Oy⊥BC，设AD=a，利用

SB

，

CD

夹角求解．
（3）求出平面SAB的一个法向量，求出此法向量与

AC

夹角，再求线AC与平面SAB所成的角的大小．

解答：解：（1）过S作SO⊥AC于O，
∵平面SAC⊥平面ABCD，平面SAC∩平面ABCD=AC，
由平面和平面垂直的性质定理，得SO⊥平面ABCD，
∵侧棱SA、SB、SC与底面ABCD所成的角均为45°
∴△SOA，△SOB，△SOC，△SOD为全等的等腰直角三角形，
∴AO=BO=CO=SO，
∴∠ABC=90°，即有BC⊥AB
又AB=BC=2AD，AD∥BC，
所以四边形ABCD是直角梯形．
（2）建立空间坐标系如图，使Ox⊥AB，Oy⊥BC
设AD=a，则A(a，-a，0)，B(a，a，0)，C(-a，a，0)，D(0，-a，0)，S(0，0，

2

a)

∴ SB =(a，a，- 2 a)， CD =(a，-2a，0) ∴cos＜ SB ， CD ＞= a2-2a2 a2+a2+(- 2 a)2 • a2+(-2a)2 = -a2 2a• 5 a =- 5 10

∴直线SB与CD所成角的大小为arccos

5

10

（3）设平面SAB的法向量为

n

=(x，y，z)
∵

AB

=（0，2a，0），

SB

=（a，a，-

2

a）．
由

n • AB =0 n • SB =0

得

2ay=0 ax+ay- 2 az=0

，
取z=1，则

n

=（

2

，0，1），又

AC

=（-2a，2a，0），
∴cos＜

n

，

AC

＞=

-2 2 a 2+1 • (2a)2+(-2a)2 =- 3 3

∴AC与平面SAB所成的角的大小arcsin

3

3

．

点评：本题考查空间直线、平面位置关系的判断，二面角大小求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．利用向量这一工具，解决空间几何体问题，能够降低思维难度．