Question

四枚不同的金属纪念币A，B，C，D，投掷时，A，B两枚正面向上的概率均为

1

2

，另两枚C，D（质地不均匀）正面向上的概率均为a（0＜a＜1）．将这四枚纪念币同时投掷一次，设ξ表示出现正面向上的枚数．
（Ⅰ）求ξ的分布列（用a表示）；
（Ⅱ）若有一枚正面向上对应的概率最大，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据题意得到变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4，结合变量对应的事件利用独立重复试验的概率公式写出变量的概率，写出分布列和期望．
（II）根据有一枚正面向上对应的概率最大和上一问做出的概率值，列出不等式组，解出不等式组，得到要求的范围．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得ξ的可能取值为0，1，2，3，4．
P(ξ=0)=(1-

1

2

)2(1-a)2=

1

4

(1-a)2
P(ξ=1)=

C

1 2

1

2

(1-

1

2

)(1-a)2+

C

1 2

a(1-a)(1-

1

2

)2=

1

2

(1-a)P(ξ=2)=(

1

2

)2(1-a)2+

C

1 2

a(1-a)

C

1 2

1

2

(1-

1

2

)+(1-

1

2

)2a2=

1

4

(1+2a-2a2)P(ξ=3)=(

1

2

)2

C

1 2

a(1-a)+a2

C

1 2

1

2

(1-

1

2

)=

a

2

P(ξ=4)=(

1

2

)2a2=

1

4

a2
∴ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3	4
P	1 4 (1-a)2	1 2 (1-a)	1 4 (1+2a-2a2)	1 2 a	1 4 a2

（Ⅱ）∵0＜a＜1
∴P（ξ=0）＜P（ξ=1），P（ξ=4）＜P（ξ=3）
∴

1 2 (1-a)＞ 1 4 (1+2a-2a2) 1 2 (1-a)＞ 1 2 a

，
解得

a＞ 2+ 2 2 或a＜ 2- 2 2 a＜ 1 2

∴a的取值范围为(0，

2- 2

2

)．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，解题的关键是看清变量符合的概率情况，写出概率后面的问题就可以解决．