Question

12、求证：关于x的方程ax²+bx+c=0有一根为1的充分必要条件是a+b+c=0．

Answer 1

分析：我们先假设，x=1是方程ax²+bx+c=0的根再证明a+b+c=0成立，即命题的必要性，再假设a+b+c=0再证明x=1时，方程ax²+bx+c=0成立，即充分性，如果两者均成立，即可得到关于x的方程ax²+bx+c=0有一根为1的充分必要条件是a+b+c=0．

解答：证明：（1）必要性，即“若x=1是方程ax²+bx+c=0的根，则a+b+c=0”．
∵x=1是方程的根，将x=1代入方程，得a•1²+b•1+c=0，即a+b+c=0．
（2）充分性，即“若a+b+c=0，则x=1是方程ax²+bx+c=0的根”．
把x=1代入方程的左边，得a•1²+b•1+c=a+b+c．
∵a+b+c=0，
∴x=1是方程的根．
综合（1）（2）知命题成立．

点评：本题考查的知识点是充要条件的证明，本类问题的处理一共分为三步：①证明必要性，②证明充分性，③得到结论．