精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
12、求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充分必要条件是a+b+c=0.
分析:我们先假设,x=1是方程ax2+bx+c=0的根再证明a+b+c=0成立,即命题的必要性,再假设a+b+c=0再证明x=1时,方程ax2+bx+c=0成立,即充分性,如果两者均成立,即可得到关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充分必要条件是a+b+c=0.
解答:证明:(1)必要性,即“若x=1是方程ax2+bx+c=0的根,则a+b+c=0”.
∵x=1是方程的根,将x=1代入方程,得a•12+b•1+c=0,即a+b+c=0.
(2)充分性,即“若a+b+c=0,则x=1是方程ax2+bx+c=0的根”.
把x=1代入方程的左边,得a•12+b•1+c=a+b+c.
∵a+b+c=0,
∴x=1是方程的根.
综合(1)(2)知命题成立.
点评:本题考查的知识点是充要条件的证明,本类问题的处理一共分为三步:①证明必要性,②证明充分性,③得到结论.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

11、求证:关于x的方程ax3+bx2+cx+d=0有一根为1的充要条件是a+b=-(c+d).

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的充要条件是a-b+c=0.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•泸州二模)设a>0,函数f(x)=
1
x2+a

(1)求证:关于x的方程f(x)=
1
x-1
没有实数根;
(2)求函数g(x)=
1
3
ax3+ax+
1
f(x)
的单调区间;
(3)设数列{xn}满足x1=0,xn+1=f(xn)(n∈N*),当a=2且0<xk
1
2
(k=2,3,4,…)
,证明:对任意m∈N*都有|xm+k-xk|<
1
3•4k-1

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2012年四川省泸州市高考数学二模试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

设a>0,函数
(1)求证:关于x的方程没有实数根;
(2)求函数的单调区间;
(3)设数列{xn}满足,当a=2且,证明:对任意m∈N*都有

查看答案和解析>>

同步练习册答案