Question

已知a是实数，函数f(x)=

4

3

ax3+x2-(a+5)x，如果函数y=f（x）在区间[-1，1]上不单调，求a的取值范围．

Answer 1

分析：由f(x)=

4

3

ax3+x2-(a+5)x，知f′（x）=4ax²+2x-（a+5），由函数y=f（x）在区间[-1，1]上不单调，知f′（x）=4ax²+2x-（a+5）在[-1，1]内存在零点，由此进行分类讨论，能够求出实数a的取值范围．

解答：解：∵f(x)=

4

3

ax3+x2-(a+5)x，
∴f′（x）=4ax²+2x-（a+5），
∵函数y=f（x）在区间[-1，1]上不单调，
∴f′（x）=4ax²+2x-（a+5）在[-1，1]内存在零点，
①当a=0时，f′（x）=2x-5 显然不成立；
②存在一个零点，则f′（-1）•f′（1）＜0，
∴（4a-2-a-5）（4a+2-a-5）＜0，
即（3a-7）（3a-3）＜0，
解得1＜a＜

7

3

．
③存在两个零点，
当a＞0时，
则需满足：

△=4+16a(a+5)＞0 f′(-1)=4a-2-(a+5)≥0 f′(1)=4a+2-(a+5)≥0 -1＜- 1 4a ＜1

，
解得a＞

7

3

．
当a＜0时，
则需满足：

△=4+16a(a+5)＞0 f′(-1)=4a-2-(a+5)≤0 f′(1)=4a+2-(a+5)≤0 -1＜- 1 4a ＜1

，
解得a＜-

5

2

-

6

，或-

5

2

+

6

＜a＜0．
综上所述，a的取值范围是（-∞，-

5

2

-

6

）∪（-

5

2

+

6

，0）∪（

7

3

，+∞）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查解不等式，解题时要注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用．