【题目】已知函数f(x)=2|x+1|+|2x﹣a|(x∈R).
(1)当a>﹣2时,函数f(x)的最小值为4,求实数a的值;
(2)若对于任意,x∈[﹣1,4],不等式f(x)≥3x恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:将函数分段为: ,
∴当且仅当 时,f(x)min=a+2,
由题意得a+2=4,即a=2
(2)解:当x∈[﹣1,4]时f(x)≥3x恒成立|2x﹣a|≥x﹣2恒成立,
若﹣1≤x<2,不等式恒成立,此时a∈R;
若2≤x≤4,|2x﹣a|≥x﹣22x﹣a≥x﹣2或2x﹣a≤(x﹣2),
即a≤x+2或a≥3x﹣2在x∈[2,4]恒成立,所以a≤4或a≥10,
综上知,所求实数a的取值范围是(﹣∞,4]∪[10,+∞)
【解析】(1)求出函数的分段函数的形式,求出f(x)的最小值,得到关于a的方程,解出即可;(2)问题等价于|2x﹣a|≥x﹣2恒成立,通过讨论x的范围,求出a的范围即可.
【考点精析】认真审题,首先需要了解绝对值不等式的解法(含绝对值不等式的解法:定义法、平方法、同解变形法,其同解定理有;规律:关键是去掉绝对值的符号).
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【题目】近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视,某企业在现有设备下每日生产总成本(单位:万元)与日产量(单位:吨)之间的函数关系式为,现为了配合环境卫生综合整治,该企业引进了除尘设备,每吨产品除尘费用为万元,除尘后当日产量时,总成本.
(1)求的值;
(2)若每吨产品出厂价为48万元,试求除尘后日产量为多少时,每吨产品的利润最大,最大利润为多少?
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【题目】为迎接夏季旅游旺季的到来,少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈,寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少,浪费很严重,为了控制经营成本,减少浪费,就想适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律:
①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;
②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人;
③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多.
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数y与月x份之间的关系;
(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物?
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【题目】已知椭圆E: =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2 , A为椭圆E的右顶点,B,C分别为椭圆E的上、下顶点.线段CF2的延长线与线段AB交于点M,与椭圆E交于点P.
(1)若椭圆的离心率为 ,△PF1C的面积为12,求椭圆E的方程;
(2)设S =λS ,求实数λ的最小值.
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【题目】在平面直角坐标系中,
已知圆和圆.
(1)若直线过点,且被圆截得的弦长为,
求直线的方程;(2)设P为平面上的点,满足:
存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和,
它们分别与圆和圆相交,且直线被圆
截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标。
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【题目】函数f(x)=sin(ωx+φ)+ 的图象过(1,2),若f(x)相邻的零点为x1 , x2且满足|x1﹣x2|=6,则f(x)的单调增区间为( )
A.[﹣2+12k,4+12k](k∈Z)
B.[﹣5+12k,1+12k](k∈Z)
C.[1+12k,7+12k](k∈Z)
D.[﹣2+6k,1+6k](k∈Z)
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【题目】已知函数,对任意的,满足,其中,为常数.
(1)若的图象在处的切线经过点,求的值;
(2)已知,求证;
(3)当存在三个不同的零点时,求的取值范围.
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【题目】已知三点,,,曲线上任意一点满足.
(1)求的方程;
(2)动点 在曲线上,是曲线在处的切线.问:是否存在定点使得与都相交,交点分别为,且与的面积之比为常数?若存在,求的值;若不存在,说明理由.
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【题目】已知函数f(x)= ﹣mx(m∈R). (Ⅰ)当m=0时,讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)当b>a>0时,总有 >1成立,求实数m的取值范围.
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