Question

【题目】如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，M，N，P分别为AB，A1C1 ， BC的中点．
求证：
（1）C1P∥平面MNC；
（2）平面MNC⊥平面ABB1A1 ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接MP，因为M、P分别为AB，BC的中点

∵MP∥AC，MP= ，

又因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∴AC∥A1C1，AC=A1C1

且N是A1C1的中点，∴MP∥C1N，MP=C1N

∴四边形MPC1N是平行四边形，∴C1P∥MN

∵C1P面MNC，MN面MNC，∴C1P∥平面MNC；

（2）证明：在△ABC中，CA=CB，M为AB的中点，∴CM⊥AB．

在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1B⊥面ABC．

∵CM面ABC，∴BB1⊥CM

由因为BB1∩AB=B，BB1，AB平面面ABB1A1

又CM平面MNC，

∴平面MNC⊥平面ABB1A1．

【解析】（1）连接MP，只需证明四边形MPC1N是平行四边形，即可得MN∥C1P∵C1P，即可证得C1P∥平面MNC；（2）只需证明CM⊥平面MNC，即可得平面MNC⊥平面ABB1A1．