Question

（2012•葫芦岛模拟）选修4-4：坐标系与参数方程．
在平面直角坐标系中，曲线C₁的参数方程为

x=acos? y=bsin?

（a＞b＞0，?为参数），以Ο为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C₁上的点M（2，

3

）对应的参数φ=

π

3

；θ=

π

4

；与曲线C₂交于点D（

2

，

π

4

）
（1）求曲线C₁，C₂的方程；
（2）A（ρ₁，θ），Β（ρ₂，θ+

π

2

）是曲线C₁上的两点，求

1

ρ 2 1

+

1

ρ 2 2

的值．

Answer 1

分析：（1）将M（2，

3

）对应的参数φ=

π

3

，代入曲线C₁的参数方程，求出a、b的值，可得曲线C₁的方程．把点D的极坐标化为直角坐标代入圆C₂的方程为（x-R）²+y²=R² ，求得R=1，即可得到曲线C₂的方程．
（2）把A、B两点的极坐标化为直角坐标，代入曲线C₁的方程可得：

ρ12cos2θ

16

+

ρ12sin2θ

4

=1，

ρ22cos2θ

16

+

ρ22sin2θ

4

=1从而求出

1

ρ 2 1

+

1

ρ 2 2

的值．

解答：解：（1）将M（2，

3

）及对应的参数φ=

π

3

；θ=

π

4

；
代入

x=acos? y=bsin?

得：

2=acos π 3 3 =bsin π 3

得：

a=4 b=2

∴曲线C₁的方程为：

x=4cos? y=2sin?

（∅为参数）或

x2

16

+

y2

4

=1．
设圆C₂的半径R，则圆C₂的方程为：ρ=2Rcosθ（或（x-R）²+y²=R²），将点D（

2

，

π

4

）
代入得：

2

=2R•

2

2

∴R=1
∴圆C₂的方程为：ρ=2cosθ（或（x-1）²+y²=1）…（5分）
（2）曲线C₁的极坐标方程为：

ρ2cos2θ

16

+

ρ2sin2θ

4

=1
将A（ρ_?，θ），Β（ρ_?，θ+

π

2

）代入得：

ρ12cos2θ

16

+

ρ12sin2θ

4

=1，

ρ22cos2θ

16

+

ρ22sin2θ

4

=1
∴

1

ρ 2 1

+

1

ρ 2 2

=（

cos2θ

16

+

sin2θ

4

）+（

sin2θ

16

+

cos2θ

4

）=

5

16

…（10分）

点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．