[题目]已知实数满足:有且仅有一个正方形.其四个顶点均在曲线上.试求这个正方形的面积. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知实数满足：有且仅有一个正方形，其四个顶点均在曲线上.试求这个正方形的面积.

【答案】

【解析】

由于曲线关于原点对称，所以该正方形的中心必过原点（否则，将这个正方形关于原点作对称又得到一个顶点均在曲线上的正方形）.

设正方形的一个顶点为，则、、是其他三个顶点.令的斜率分别为，则由，得，（1）

并且（由于在曲线上）有，（2）

（3）

由（2）、（3）得

. （4）

结合（1）得（5）

这说明方程（6）

有解.并且对（6）的任一解，结合（1）可求出（均为实数，因为）.再由（2）定出，它们满足（3）的第一个等式，由（5）有

从而，（3）的第二个等式也成立.

确定的四点构成曲线上的正方形.

因为已知曲线上只有一个正方形，所以方程（6）只有两个相同的解.

由，得.

由（2）、（3）得.

故.从而.

则正方形的边长.

即正方形的面积.

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