(1)求证:EF⊥平面BDD1;
(2)求异面直线BE与C1F所成的角;
(3)求二面角E-BB1-F的大小.
解法一:(1)证明:连接AC交BD于O,∵点E为CC1的中点,
点F肋BD1的中点,即F为C1A的中点
∴EF∥OC
依题意有OC⊥BD,OC⊥DD1,故
OC⊥平面BDD1
∴EF⊥平面BDD1
(2)设G为BB1的中点,连接FG、C1G则召BE∥C1G,所以∠FC1G为异面直线BE与C1F所成的角或补角,
设AB=a,则在△FGC1中,
C1G=,FG=,FC1=
所以C1G2=,故cos∠FC1G=,∴∠FC1G=.
即异面直线BE与C1F所成的角为.
(3)连接EG,则由(1)知FG为EG在平面FB1B的射影所以∠EGF为二面角E-BB1-F的一个平面角
在Rt△EGF为二面角E=FG,所以∠EGF=
即二面角E-BB1-F为
解法二:分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设AB=1,则AA1=2.故
B(1,1,0),C(0,1,0),C1(0,1,2),D1(0,0,2),E(0,1,1),F(,,1)
(1)=(,,0),=(0,0,2),=(-1,-1,2)
·=×0+()×0+0×2=0
·=(-1)+()×(-1)+2×0=0
∴EF⊥DD1,EF⊥BD1,EF⊥平BDD1阶段
(2)=(-1,0,1),(,,1),
∴·=(-1)×()+0×+1×1=
||=,||=,
∴cos(,)=
则异面直线BE与C1F所成的角为.
(3)同解法一(评分同解法一).
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