Question

设圆Q过点P(0,2),且在x轴上截得的弦RG的长为4.

(1)求圆心Q的轨迹E的方程；

(2)过点F(0，1)，作轨迹E的两条互相垂直的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M、N，试判断直线MN是否过定点？并说明理由.

Answer 1

解:(1)设圆心Q的坐标为(x,y)，如图,过圆心Q作QH⊥x轴于H,

则H为RG的中点.在Rt△RHQ中，QR²=QH²+RH².

∵QR=QP,RH=2,∴x²+(y-2)²=y²+4,即x²=4y.

(2)设A(x_a,y_a),B(x_b,y_b),M(x_m,y_m),N(x_n,y_n)，

直线AB的方程为y=kx+1,则x_a²=4y_a,①  x_b²=4y_b,②

由①-②,得x_A+x_B==4k，∴x_M=2k.

∵点M(x_M,y_M)在直线y=kx+1上，∴y_M=kx_M+1=2k²+1.

∴点M的坐标为(2k,2k²+1).10分

同理可得x_C+x_D=,x_N=,y_N=x_N+1=+1,∴点N的坐标为(,+1).

直线MN的斜率为k_MN===，其方程为

y-2k²-1=(x-2k)，整理得k(y-3)=(k²-1)x，显然，不论k为何值，点(0,3)均满足方程，

∴直线MN恒过定点(0,3).