【题目】如图，四棱锥
中，底面
为菱形，
，
，点
为
的中点.
（1）证明：
；
（2）若点
为线段
的中点，平面
平面，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】分析：（1）由正三角形的性质可得
，由等腰三角形的性质可得
，由线面垂直的判定定理可得
平面
，从而可得结论；（2）由（1）知
，结合面面垂直的性质可得，
平面
，以
为坐标原点，分别以
，
，
所在直线为
，
，
轴，建立空间直角坐标系，求出平面
的一个法向量取平面的一个法向量
，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.
详解：（1）连接
，
因为
，
，所以
为正三角形，又点为
的中点，所以.
又因为
，为的中点，所以.
又
，所以平面，又
平面，所以
.
（2）由（1）知.又平面
平面，交线为，所以平面，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
设平面的一个法向量为
，
可得
得
，
由（1）知平面，则取平面的一个法向量，
，故二面角
的余弦值为.
阅读快车系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
日期 | 12月1日 | 12月2日 | 12月3日 | 12月4日 | 12月5日 |
温差 | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
发芽数 | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.
（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天的数据的概率；
（2）若选取的是12月1日与12月5日的2组数据，请根据12月2日至4日的数据，求出
关于
的线性回归方程
，由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？
附：参考公式：
，
.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重. 大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病。为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如在的列联表:已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为
.
（Ⅰ）请将右面的列联表补充完整；
患心肺疾病 | 不患心肺疾病 | 合计 | |
男 | 5 | ||
女 | 10 | ||
合计 | 50 |
（Ⅱ）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关?说明你的理由；
（Ⅲ）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃病.现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其他方面的排查，记选出患胃病的女性人数为
，求的分布列以及数学期望.
下面的临界值表供参考:
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（参考公式
其中
）
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【题目】某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以
mile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即向方位角为
方向，以
mile/h的速度前去营救，求舰艇与渔轮相遇时所需的最短时间和
．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动,每天一人,则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( )
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在四棱锥
中，平面
平面ABCD，且
，
.四边形ABCD满足
，
，
.E为侧棱PB的中点，F为侧棱PC上的任意一点.
(1)若F为PC的中点，求证:
平面PAD；
(2)求证:平面
平面PAB；
(3)是否存在点F，使得直线AF与平面PCD垂直?若存在，写出证明过程并求出线段PF的长；若不存在，请说明理由.
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