Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣ ax2+（1﹣a）x，其中a∈R，f（x）的导函数是f′（x）．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）在曲线y=f（x）的图象上是否存在不同的两点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）（x1≠x2），使得直线AB的斜率k=f′（ ）？若存在，求出x1与x2的关系；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得，f′（x）= （1）当a≤0时，∵x＞0，∴f′（x）＞0；

∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，此时函数f（x）无极值；（2）当a＞0时， ；

∴当x 时，g′（x）＞0；当x 时，g′（x）＜0；

∴函数f（x）在 上是增函数，在 上是减函数；

∴当 时，f（x）有极大值 ，无极小值；

综上所述，当a≤0时，函数f（x）无极值，当a＞0时，f（x）有极大值 ，无极小值．

（2）解：由题意得，

=

= = ．

．

由 得， ；

即 ，即 ；

令 ，不妨设x1＞x2，则t＞1，记 ；

，所以g（t）在（1，+∞）上是增函数；

所以g（t）＞g（1）=0，所以方程g（t）=0无解，则满足条件的两点A，B不存在．

【解析】（1）求导数 ，讨论a的符号，这样便可判断导数的符号，从而可判断每种情况是否存在极值，若存在便可求出该极值；（2）先根据条件求出斜率 ，而可得到 ，这样便可根据条件得出 ，然后换元 ，并设x1＞x2 ， t＞1，从而得出 ；求导数并可判断导数符号g′（t）＞0，从而g（t）＞g（1），而g（1）=0，这即说明g（t）=0无解，从而得出满足条件的两点A，B不存在．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的极值与导数(求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值)．