Question

（本小题满分12分）
设函数(为自然对数的底数)，（）．
（1）证明：；
（2）当时，比较与的大小，并说明理由；
（3）证明：（）．

Answer 1

（1）设，即函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得唯一极小值。
（2）用数学归纳法证明即可；
（3）证明1：先证对任意正整数，，再证对任意正整数，
．
即要证明对任意正整数，不等式（*）成立，以下可以数学归纳法证明。

                                                        
试题分析：（1）设，所以
当时，，当时，，当时，．
即函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得唯一极小值，…2分
因为，所以对任意实数均有 ．即，
所以
（2）当时，．用数学归纳法证明如下：
①当时，由（1）知。
②假设当（）时，对任意均有，
令，，
因为对任意的正实数，，
由归纳假设知，．
即在上为增函数，亦即，
因为，所以．从而对任意，有．
即对任意，有．这就是说，当时，对任意，也有．由①、②知，当时，都有．
（3）证明1：先证对任意正整数，．
由（2）知，当时，对任意正整数，都有．令，得．所以．
再证对任意正整数，
．
要证明上式，只需证明对任意正整数，不等式成立．
即要证明对任意正整数，不等式（*）成立
以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）：
方法1（数学归纳法）：
①当时，成立，所以不等式（*）成立．
②假设当（）时，不等式（*）成立，即．
则．
因为 
所以．
这说明当时，不等式（*）也成立．由①、②知，对任意正整数，不等式（*）都成立．
综上可知，对任意正整数，成立 。
点评：本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力．题目较难，对学生的能力要求较高，我们在做题时，能得满分就得满分，不能得满分的尽量多得步骤分。