【题目】如图,在边长为2的正三角形△ABC中,D为BC的中点,E,F分别在边CA,AB上.
(1)若 ,求CE的长;
(2)若∠EDF=60°,问:当∠CDE取何值时,△DEF的面积最小?并求出面积的最小值.
【答案】
(1)解:在△CDE中, ,
由余弦定理得,DE2=CD2+CE2﹣2×CD×CE×cos60°,
得CE2﹣CE﹣1=0,解得 ;
(2)解:设∠CDE=α,300≤α≤900,
在△CDE中,由正弦定理,得 ,
所以 ,同理 ,
故 ,
因为300≤α≤900,300≤2α﹣300≤1500,
所以当α=600时,sin(2α﹣300)的最大值为1,此时△DEF的面积取到最小值.
即∠CDE=60°时,△DEF的面积的最小值为 .
【解析】(1)在△CDE中,由已知及余弦定理可得CE2﹣CE﹣1=0,进而解得CE的值.(2)设∠CDE=α,300≤α≤900,在△CDE中,由正弦定理,可求DE= , ,利用三角形面积公式可求S△DEF= ,由范围300≤2α﹣300≤1500,利用正弦函数的图象和性质即可得解.
【考点精析】利用正弦定理的定义和余弦定理的定义对题目进行判断即可得到答案,需要熟知正弦定理:;余弦定理:;;.
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【题目】已知函数f(x)=ex﹣ax﹣1﹣ ,x∈R.
(Ⅰ)若a= ,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若对任意x≥0都有f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)设函数F(x)=f(x)+f(﹣x)+2+x2 , 求证:F(1)F(2)…F(n)>(en+1+2) (n∈N*).
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【题目】已知F为双曲线C: (a>0,b>0)的右焦点,l1 , l2为C的两条渐近线,点A在l1上,且FA⊥l1 , 点B在l2上,且FB∥l1 , 若 ,则双曲线C的离心率为( )
A.
B.
C. 或
D. 或
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【题目】若 是函数 图象的一条对称轴,当ω取最小正数时( )
A.f(x)在 单调递减
B.f(x)在 单调递增
C.f(x)在 单调递减
D.f(x)在 单调递增
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (θ为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,直线l的方程为 .
(1)求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程;
(2)设P是曲线C上的任意一点,求点P到直线l的距离的最大值.
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【题目】如图,点A与点A′在x轴上,且关于y轴对称,过点A′垂直于x轴的直线与抛物线y2=2x交于两点B,C,点D为线段AB 上的动点,点E在线段AC上,满足 .
(1)求证:直线DE与此抛物线有且只有一个公共点;
(2)设直线DE与此抛物线的公共点F,记△BCF与△ADE的面积分别为S1、S2 , 求 的值.
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【题目】给定椭圆C: =1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为 的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为F( ,0),其短轴上的一个端点到F的距离为 .
(Ⅰ)求椭圆C的方程和其“准圆”方程;
(Ⅱ)点P是椭圆C的“准圆”上的动点,过点P作椭圆的切线l1 , l2交“准圆”于点M,N.
(ⅰ)当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时,求直线l1 , l2的方程并证明l1⊥l2;
(ⅱ)求证:线段MN的长为定值.
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