Question

已知抛物线L的方程为x²=2py（p＞0），直线y=x截抛物线L所得弦|AB|=4

2

．
（1）求p的值；
（2）抛物线L上是否存在异于点A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线．若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把直线方程与抛物线方程联立，求出A与B的坐标，再代入弦长即可求p的值；
（2）设出点C的坐标以及圆的圆心N，利用A、B、C三点在圆上，得出圆心坐标N和点C的坐标之间的关系式；再利用抛物线L在点C处的切线与NC垂直，代入即可求点C的坐标．

解答：解：（1）由

y=x x2=2py

解得A（0，0），B（2p，2p）
∴4

2

=AB=

4p2+4p2

=2

2

p，
∴p=2
（2）由（1）得x²=4y，A（0，0），B（4，4）
假设抛物线L上存在异于点A、B的点C(t，

t2

4

)(t≠0，t≠4)，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线
令圆的圆心为N（a，b），
则由

NA=NB NA=NC

得

a2+b2=(a-4)2+(b-4)2 a2+b2=(a-t)2+(b- t2 4 )2

得

a+b=4 4a+tb=2t+ 1 8 t3

?

a=- t2+4t 8 b= t2+4t+32 8

∵抛物线L在点C处的切线斜率k=y′|x=t=

t

2

(t≠0)
又该切线与NC垂直，
∴

b- t2 4

a-t

•

t

2

=-1?2a+bt-2t-

1

4

t3=0
∴2•(-

t2+4t

8

)+t•

t2+4t+32

8

-2t-

1

4

t3=0?t3-2t2-8t=0
∵t≠0，t≠4，
∴t=-2
故存在点C且坐标为（-2，1）．

点评：本题主要考查直线上两点的斜率公式、直线与圆相切、垂径定理、抛物线与圆的几何性质等知识，考查学生的基本思想与运算能力、探究能力和推理能力．