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10.如图,△ABC中,BC=10,以 BC 为直径的圆分别交 AB,AC于点 E,F.
(1)求证:∠AFE=∠ABC;
(2)若AC=2AE,求EF的长.

分析 (1)B,E,F,C四点共圆,可得:∠AFE=∠ABC;
(2)证明△AEF∽△ACB,可得$\frac{AE}{AC}=\frac{EF}{BC}$,利用AC=2AE,即可求EF的长.

解答 (1)证明:由题意,
∵以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F,
∴B,E,F,C四点共圆,
∴∠AFE=∠ABC
(2)解:∵∠EAF=∠CAB,∠AFE=∠ABC
∴△AEF∽△ACB,
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{EF}{BC}$,
∵BC=10,AC=2AE,
∴EF=5.

点评 本题考查三角形相似的判定与运用,考查学生的计算能力,属于中档题.

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