Question

设数列{a_n}的前项和为S_n，a1=1，an=

Sn

n

+2(n-1)．
（1）求数列{a_n}的通项a_n的表达式；
（2）是否存在自然数n，使得S1+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

-(n-1)2=2011？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知s_n求a_n是数列中的常见题形，解决的办法是分n=1与n≥2两种情况分别求得a₁与a_n，从而可求得a_n；
（2）在n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=

sn

n

+2(n-1)，经过合理转化，可得

sn

n

-

sn-1

n-1

=2，又a₁=1，利用等差数列的定义可以求得

sn

n

，从而问题解决．

解答：解：（1）∵an=

sn

n

+2(n-1)，
∴na_n=s_n+2n（n-1）①，
　（n-1）a_n-1=s_n-1+2（n-1）（n-2）（n≥2）②，
①-②有：（n-1）a_n-（n-1）a_n-1=4（n-1）（n≥2），
∴a_n-a_n-1=4（n≥2），
∴{a_n}是1为首项，4为公差的等差数列，
∴a_n=4n-3．
　（2）由已知条件可得，当n≥2时，sn-sn-1=

sn

n

+2(n-1)，
　整理得：（n-1）s_n-ns_n-1=2n（n-1），等式两端同除以n（n-1），
　得

sn

n

-

sn-1

n-1

=2（n≥2），又

s1

1

=a1=1，
∴{

sn

n

}是1为首项，2为公差的等差数列，
∴

sn

n

=2n-1．
∴

s1

1

+

s2

2

+

s3

3

+…+

sn

n

-(n-1)2=

(1+2n-1)•n

2

-(n-1)2=2n-1，
∴存在自然数n，使等式成立，则2n-1=2011，解得n=1006，合乎题意．

点评：本题考查递推数列，考查数列通项公式的求法与数列求和，解题的关键是合理转化，利用等差数列的定义求通项，利用等差数列的求和公式求数列的和．