Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1处取得极值4，且|a|＜|b|．
（1）求a、b的值，并确定f（1）是函数的极大值还是极小值；
（2）若对于任意x∈[0，2]的时，都有x³+ax²+bx＞c²+6c成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先对函数进行求导，然后根据f（1）=4，f'（1）=0求出a，b的值，然后根据函数的单调性判断f（1）是极小值．
（2）先将（1）中结果代入，然后将问题转化为求函数g（x）=x³+3x²-9x在[0，2]上的最小值的问题，进而可解．

解答：解：（1）∵f（x）=x³+ax²+bx+a²∴f'（x）=3x²+2ax+b
由题意可知：f（1）=1+a+b+a²=4，f'（1）=3+2a+b=0
解得：

a=-2 b=1

或

a=3 b=-9

∵|a|＜|b|∴

a=3 b=-9

当a=3，b=-9时，f'（x）=3x²+6x-9=3（x+3）（x-1）
当x＞1或x＜-3时f'（x）＞0，函数f（x）单调递增
当-3＜x＜1时f'（x）＜0，函数f（x）单调递减
∴f（1）是函数的极小值
（2）由题意可知，x³+3x²-9x＞c²+6c对于任意x∈[0，2]恒成立
令g（x）=x³+3x²-9x，则g'（x）=3x²+6x-9=3（x+3）（x-1）
∴当x＞1或x＜-3时g'（x）＞0，函数g（x）单调递增
当-3＜x＜1时g'（x）＜0，函数g（x）单调递减
∴x=1时函数g（x）取到最小值g（1）=-5
∴只要-5＞c²+6c即可
-5＜c＜-1

点评：本题主要考查函数的极值与其导函数之间的关系以及函数在闭区间上最值的求法．导数时高考的热点问题，每年必考要给予充分的重视．