分析:(1)因为f(x)=lnx-ax+1的定义域为(0,+∞),
f′(x)=-a=,再结合a的符号,由导数的性质求函数的单调区间.
(2)当a=1,x=1时,f(x)=lnx-x+1取得最大值f(1)=0,所以当x>0时,lnx-x+1≤0,即当x>0时,lnx≤x-1.由此入手能够证明
++…+<(n∈N,n≥2).
解答:解:(1)因为f(x)=lnx-ax+1的定义域为(0,+∞),
f′(x)=-a=,
①当a≤0时,f'(x)>0,所以f(x)的单调递增区间是(0,+∞).
②当a>0时,令f'(x)>0,解得
0<x<;令f'(x)<0,解得
x>.
故当a>0时,f(x)的单调递增区间是
(0,),单调递减区间是
(,+∞).
(2)当a=1时,由(1)知,当x=1时,f(x)=lnx-x+1取得最大值f(1)=0,
所以当x>0时,lnx-x+1≤0,即当x>0时,lnx≤x-1.
因为n∈N,n≥2,所以lnn
2≤n
2-1,所以
≤=1-,即
≤(1-),
所以
+++≤[(1-)+(1-)++(1-)]=
[(n-1)-(+++)]<[(n-1)-(+++)]=
[(n-1)-(-+-++-)]=
[(n-1)-(-)]=.
点评:本题考查不等式的证明,解题时要认真审题,仔细解答,注意公式的灵活运用.