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设函数f(x)=lnx-ax+1,其中a为常数.
(1)求函数f(x)的单调区间.
(2)求证:
ln2
22
+
ln3
32
+…+
lnn
n2
2n2-n-1
4(n+1)
(n∈N,n≥2)
分析:(1)因为f(x)=lnx-ax+1的定义域为(0,+∞),f′(x)=
1
x
-a=
1-ax
x
,再结合a的符号,由导数的性质求函数的单调区间.
(2)当a=1,x=1时,f(x)=lnx-x+1取得最大值f(1)=0,所以当x>0时,lnx-x+1≤0,即当x>0时,lnx≤x-1.由此入手能够证明
ln2
22
+
ln3
32
+…+
lnn
n2
2n2-n-1
4(n+1)
(n∈N,n≥2)
解答:解:(1)因为f(x)=lnx-ax+1的定义域为(0,+∞),f′(x)=
1
x
-a=
1-ax
x

①当a≤0时,f'(x)>0,所以f(x)的单调递增区间是(0,+∞).
②当a>0时,令f'(x)>0,解得0<x<
1
a
;令f'(x)<0,解得x>
1
a

故当a>0时,f(x)的单调递增区间是(0,
1
a
)
,单调递减区间是(
1
a
,+∞)

(2)当a=1时,由(1)知,当x=1时,f(x)=lnx-x+1取得最大值f(1)=0,
所以当x>0时,lnx-x+1≤0,即当x>0时,lnx≤x-1.
因为n∈N,n≥2,所以lnn2≤n2-1,所以
lnn2
n2
n2-1
n2
=1-
1
n2
,即
lnn
n2
1
2
(1-
1
n2
)

所以
ln2
22
+
ln3
32
++
lnn
n2
1
2
[(1-
1
22
)+(1-
1
32
)++(1-
1
n2
)]
=
1
2
[(n-1)-(
1
22
+
1
32
++
1
n2
)]
1
2
[(n-1)-(
1
2×3
+
1
3×4
++
1
n(n+1)
)]
=
1
2
[(n-1)-(
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
++
1
n
-
1
n+1
)]
=
1
2
[(n-1)-(
1
2
-
1
n+1
)]=
2n2-n-1
4(n+1)
点评:本题考查不等式的证明,解题时要认真审题,仔细解答,注意公式的灵活运用.
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9
10
)
19
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)

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3
2
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x
-
3
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1
4

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