Question

设{a_n}是等差数列，从{a₁，a₂，…，a₂₀}中任取3个不同的数，使这3个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列的个数最多有

180

个．

Answer 1

分析：设新数列的公差为m，当确定了m，如果再确定了第一项，则第二和第三项也就确定了，因此只考虑如何选择第一项．列举当m=d时，a₁₉和a₂₀不能做第一项，能做第一项的有18种结果，以此类推得到共有的数列数，再有把数列的公差变化为列举的公差的相反数，又有90个数列，相加得到结果．

解答：解：设新数列的公差为m，原来数列的公差是d，当确定了m，如果再确定了第一项，
则第二和第三项也就确定了，因此只考虑如何选择第一项．
m=d时，a₁₉和a₂₀不能做第一项，能做第一项的有18种结果，
m=2d，a₁₇至a₂₀不能做第一项，有16种结果，
m=3d，a₁₅至a₂₀不能做第一项，有14种结果，
m=4d，a₁₃至a₂₀不能做第一项，有12种结果，
m=5d，a₁₁至a₂₀不能做第一项，有10种结果，
以此类推m=9d，a₃至a₂₀不能做第一项，有2种结果，
当m大于9d，则不能选出满足题意的数列．
∴总共个数=2+4+6+8+…+18=90，
当数列的公差与列举的公差互为相反数时，又有90个结果，
∴共有90+90=180
故答案为：180．

点评：本题考查等差数列的性质，考查利用排列组合解决实际问题，考查分类计数原理的应用，本题是一个综合题目，这种题目分类的情况比较多，是一个易错题．