Question

选修4-2：矩阵与变换已知矩阵M=

1 0 0 -1

，N=

1 2 3 4

①求二阶矩阵X，使MX=N；
②求矩阵X的特征值以及其中一个特征值相应的一个特征向量．

Answer 1

分析：①先设出所求矩阵，根据点的列向量在矩阵的作用下变为另一列向量，建立一个四元一次方程组，解方程组即可．
②先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．

解答：解：①设 X=

x y z w

，
按题意有

1 0 0 1

x y z w

=

1 2 3 4

，（2分）
根据矩阵乘法法则有

2x-z=4 2y-w=-1 -4x+3z=-3 -4y+3w=1

（6分）
解之得

x=1 y=2 z=-3 w=-4

，
∴X=

1 2 -3 -4

．（10分）
②矩阵M的特征多项式为 f(λ)=

.

λ-1     2  -3    λ+4

.

=λ2+3λ+2，（2分）
令f（λ）=0，解得λ₁=-1，λ₂=-2，（4分）
将λ₁=1代入二元一次方程组

(λ-1)•x+2•y=0 -3x+(λ+4)y=0

解得x=-y，（6分）
所以矩阵X属于特征值1的一个特征向量为

1 -1

；（8分）
同理，矩阵X属于特征值2的一个特征向量为

2 -3

（10分）．

点评：本题主要考查了二阶矩阵的求解，以及待定系数法的应用等有关知识，本题主要考查来了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题．