Question

【题目】已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中错误的是（ ）
A.y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称
B.y=f（x）的图象关于x= 对称
C.f（x）的最大值为
D.f（x）既是奇函数，又是周期函数

Answer 1

【答案】C
【解析】解：
A、因为f（2π﹣x）+f（x）=cos（2π﹣x）sin2（2π﹣x）+cosxsin2x=﹣cosxsin2x+cosxsin2x=0，故y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，A正确；
B、因为f（π﹣x）=cos（π﹣x）sin2（π﹣x）=cosxsin2x=f（x），故y=f（x）的图象关于x= 对称，故B正确；
C、f（x）=cosxsin2x=2sinxcos2x=2sinx（1﹣sin2x）=2sinx﹣2sin3x，令t=sinx∈[﹣1，1]，则y=2t﹣2t3 ， t∈[﹣1，1]，则y′=2﹣6t2 ， 令y′＞0解得 ，故y=2t﹣2t3 ， 在[ ]上增，在[ ]与[ ]上减，又y（﹣1）=0，y（ ）= ，故函数的最大值为 ，故C错误；
D、因为f（﹣x）+f（x）=﹣cosxsin2x+cosxsin2x=0，故是奇函数，又f（x+2π）=cos（2π+x）sin2（2π+x）=cosxsin2x，故2π是函数的周期，所以函数即是奇函数，又是周期函数，故D正确．
由于该题选择错误的，故选：C．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的最大(小)值与导数和二倍角的正弦公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值；二倍角的正弦公式：．