Question

已知函数，。
（1）求函数的解析式；
（2）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围；
（3）设，，且，求证：。

Answer 1

（1），（2），（3）详见解析

试题分析：（1）本题中的参数为，利用导函数构造关于的方程. 因为，所以，，故，（2）不等式恒成立问题，往往转化为最值问题，即，本题实质求函数在上最大值. 因为，所以，因此当时单调增，当时单调减，所以当时，，从而.（3）证明不等式先要观察其结构特点，原不等式结构虽对称，但不可分离，需要适当变形.利用，将原不等式等价变形为，即
利用（II）结论，
=0
试题解析：（1）解：因为，所以。
令，得，所以。              3分
（2）解：设，
则，令，解得。
当变化时，与的变化情况如下表：

	（0，1）	1
	＋	0	－
		极大值

所以当时，。
因为对于任意，都有成立，
所以。                                          7分
（3）证明：由（II），得，即，
令，得，
令，得，
所以

因为，
所以，
即，
所以，
即，
所以。                  12分