Question

设

a

=（1+cos x，1+sin x），

b

=（1，0），

c

=（1，2）．
（1）求证：（

a

-

b

）⊥（

a

-

c

）；
（2）求|

a

|的最大值，并求此时x的值．φ

Answer 1

分析：（1）由题意可得

a

-

b

和

a

-

c

的坐标，计算其数量积为0即可；（2）由题意可得|

a

|2的不等式，由三角函数的值域可得|

a

|2的最大值，开方可得所求．

解答：解：（1）由题意可得

a

-

b

=（cosx，1+sinx），

a

-

c

=（cosx，sinx-1），
∴（

a

-

b

）•（

a

-

c

）=cos²x+sin²x-1=0，
∴（

a

-

b

）⊥（

a

-

c

）
（2）由题意可得|

a

|2=（1+cosx）²+（1+sinx）²
=3+2（sinx+cosx）=3+2

2

sin（x+

π

4

），
由三角函数的值域可知，当x+

π

4

=2kπ+

π

2

，
即x=2kπ+

π

4

（k∈Z）时，|

a

|2取最大值3+2

2

，
此时|

a

|取最大值

3+2 2

=

2

+1

点评：本题考查向量的数量积与向量的垂直关系，涉及向量的模长，属中档题．