Question

通过实验知道如果物体的初始温度是θ₁℃，环境温度是θ₀℃，则经过时间t分钟后，物体温度θ将满足：θ=θ₀+（θ₁-θ₀）•2^-kt
，其中k为正常数．
已知一杯开水（100℃）在室温为20℃的环境下经过30分钟后温度会降至30℃．
（1）若当前室温为16℃，从冰柜中拿出的温度为-4℃的冰块，经过5分钟之后，能否融化？（即温度达到0℃以上，参考数据：≈1.414）
（2）在室温为-4℃的环境下，12℃的水经过多长时间可以结冰？-20℃的冰能否融化？（即变为0℃，请依据本题的原理解释）
（3）探究：同样多的一杯开水和一杯冷水一同放进冰箱，哪个先结冰？请猜想答案，有条件的在考后抽空做实验并上网查阅相关资料．

Answer 1

解：依题意开水（100℃）在室温20℃的环境下，经过30分钟后温度降至30℃．
故30=20+（100-20）•2^-k•30?k=（2分）
∴θ=θ₀+（θ₁-θ₀）•…（3分）
（1）θ=16+（-4-16）•=16-20×≈1.86℃＞0℃…（6分）
∴5分钟之后，这个冰块能融化．…（7分）
（2）12℃的水结冰：0=-4+（12-（-4））•?t₁=20分钟…（9分）
-20℃的冰融化：0=-（-20-（-4））•：?t₂不存在（11分）
∴-20℃的冰在-4℃的条件下不可能融化．…（12分）
（3）开水先结冰（详见“姆潘巴的问题”）．（14分）
分析：根据题意，先将题目中的条件代入公式θ=θ₀+（θ₁-θ₀）•2^-kt，求解就可得到k的值．
（1）再利用公式θ=θ₀+（θ₁-θ₀）•2^-kt，当前室温为16℃，代入就可解出此时在室温为20℃的环境下经过30分钟后温度会降至30℃．
（2）利用公式θ=θ₀+（θ₁-θ₀）•2^-kt，计算12℃的水结冰时间，及-20℃的冰融化时间t₂不存在从而得出-20℃的冰在-4℃的条件下不可能融化；
（3）开水先结冰（详见“姆潘巴的问题”）．
点评：本题考查了指数函数的综合题，通过研究指数函数的性质解释实际问题．我们要掌握底数 两种基本情况下函数的性质特别是单调性和值域的差别，它能帮我们解释具体问题．