Question

（2012•崇明县二模）在极坐标系中，已知点A（2，π），B（2，

4π

3

），C是曲线p=2sinθ上任意一点，则△ABC的面积的最小值等于

3

-

1

2

．

Answer 1

分析：把AB的极坐标化为直角坐标即 A（-2，0），B（-1，-

3

），故AB=

1+3

=2，且AB的方程

3

x+y+2

3

=0．曲线p=2sinθ 化为直角坐标方程可得，它表示以C（0，1）为圆心，半径等于1的圆，求出圆心到直线的距离为d，点C到直线的最小距离等于d-1，再由△ABC的面积的最小值等于

1

2

•AB•（d-1）求得结果．

解答：解：点A（2，π），B（2，

4π

3

）的直角坐标为 A（-2，0），B（-1，-

3

），故AB=

1+3

=2，且AB的方程为

y-0

- 3 -0

=

x+2

-1+2

，即

3

x+y+2

3

=0．
曲线p=2sinθ 化为直角坐标方程为 x²+（y-1）²=1，表示以C（0，1）为圆心，半径等于1的圆． 
圆心到直线的距离为d=

|0+1+2 3 |

3+1

=

3

+

1

2

，故点C到直线的最小距离等于d-1=（

3

+

1

2

-1）=

3

-

1

2

，
故△ABC的面积的最小值等于

1

2

•AB•（d-1）=

3

-

1

2

，
故答案为

3

-

1

2

．

点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题．