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【题目】已知椭圆的离心率为,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设直线与椭圆交于两点,且以为直径的圆过椭圆的右顶点,求面积的最大值.

【答案】解:()因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为

所以……………1

又椭圆的离心率为,即,所以………………2

所以. ………………4

所以,椭圆的方程为. ………………5

)方法一:不妨设的方程,则的方程为.

………………6

,因为,所以…………7

同理可得………………8

所以………………10

………………12

,则………………13

当且仅当时取等号,所以面积的最大值为. ………………14

方法二:不妨设直线的方程.

消去………………6

则有. ① ………………7

因为以为直径的圆过点,所以.

. ………………8

代入上式,

.

代入上式,解得(舍). ………………10

所以(此时直线经过定点,与椭圆有两个交点),

所以

. ……………12

.

所以当时,取得最大值. ……………14

【解析】

(1)由题意可知2a+2ce的值,所以可以求出a,b,c进而确定椭圆方程.

2)以AB为直径的圆过右顶点C,实质是,然后用坐标表示出来,再通过直线l的方程与椭圆方程联立,借助韦达定理和判断式把△ABC面积表示成关于k的函数,然后利用函数的方法求最值.

)因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为, 又椭圆的离心率为,即,所以

. ………… 3,椭圆的方程为.……4

)由直线的方程.联立消去………… 5

,则有. ① ……… 6

因为以为直径的圆过点,所以.,得.…………… 7

代入上式,得.

代入上式,解得(舍). ……… 8

所以,记直线轴交点为,则点坐标为

所以

,则.

所以当时,取得最大值为

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(1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系,列出列联表

青年人

中年人

总计

经常使用微信

不经常使用微信

总计

(2)由列联表中所得数据判断,是否有百分之的把握认为“经常使用微信与年龄有关”?

0.010

0.001

6.635

10.828

附:

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喜欢盲拧

不喜欢盲拧

总计

23

30

11

总计

50

表(1)

并邀请其中20名男生参加盲拧三阶魔方比赛,其完成情况如下表(2)所示.

成功完成时间(分钟)

人数

10

4

4

2

表(2)

(Ⅰ)将表(1)补充完整,并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关?

(Ⅱ)现从表(2)中成功完成时间在这两组内的6名男生中任意抽取2人对他们的盲拧情况进行视频记录,求2人成功完成时间恰好在同一组内的概率.

附参考公式及参考数据:,其中.

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

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