Question

已知圆C的方程为x²+y²=4，过点M（2，4）作圆C的两条切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆T：

x2

a2

+

y2

b2

(a＞b＞0)的右顶点和上顶点．
（1）求椭圆T的方程；
（2）是否存在斜率为

1

2

的直线l与曲线C交于P、Q两不同点，使得

OP

•

OQ

=

5

2

（O为坐标原点），若存在，求出直线l的方程，否则，说明理由．

Answer 1

分析：（1）先由题意求出切线方程，把切线方程与圆方程联立，求出直线AB的方程，由此能够求出椭圆方程．
（2）设存在直线y=

1

2

x+m满足题意，与椭圆联立，得x²+2mx+2m²-2=0，令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用韦达定理和根的判别式结合题设条件得到不存在直线满足题意．

解答：解：（1）由题意：一条切线方程为：x=2，
设另一条切线方程为：y-4=k（x-2）．（2分）
则：

|4-2k|

k2+1

=2，
解得：k=

3

4

，此时切线方程为：y=

3

4

x+

5

2

切线方程与圆方程联立得：x=-

6

5

，y=

8

5

，
则直线AB的方程为x+2y=2．（4分）
令x=0，解得y=1，∴b=1；
令y=0，得x=2，∴a=2
故所求椭圆方程为

x2

4

+y2=1．（6分）
（2）设存在直线y=

1

2

x+m满足题意，
联立

y= 1 2 x+m x2 4 +y2=1

整理得x²+2mx+2m²-2=0，
令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则
∴x₁+x₂=-2m，x1x2=2m2-2，
△=（2m）²-8（m²-1）＞0，即m²＜2．（8分）
由P(X=0)=

C 3 4

C 3 6

=

1

5

，P(X=1)=

C 1 2 C 2 4

C 3 6

=

3

5

，
得：x₁x₂+y₁y₂=0，
x1x2+y1y2=x1x2+(

1

2

x1+m)(

1

2

x2+m)
=

5

4

x1x2+

1

2

m(x1+x2)+m2=

5

2

(m2-1)=

5

2

所以，m=±

2

不满足m²＜2．（10分）
因此不存在直线满足题意．（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，探索直线方程是否存在．解题时要认真审题，仔细解答，注意直线方程的求法和合理运用．