(满分12分)设函数。
(Ⅰ)若在定义域内存在,而使得不等式能成立,求实数的最小值;
(Ⅱ)若函数在区间上恰有两个不同的零点,求实数的取值范围。
(Ⅰ)实数的最小值为。(Ⅱ)。
【解析】
试题分析:(Ⅰ)要使得不等式能成立,只需。
求导得:, ………3分
∵函数的定义域为,
当时,,∴函数在区间上是减函数;
当时,,∴函数在区间(0,+∞)上是增函数。
∴, ∴。故实数的最小值为。 ………6分
(Ⅱ)由得:
由题设可得:方程在区间上恰有两个相异实根………8分
设。∵,列表如下:
|
- |
0 |
+ |
|
|
减函数 |
增函数 |
∵,
∴。
从而有, ………10分
画出函数在区间上的草图
易知要使方程在区间上恰有两个相异实根,
只需:,即:。 ………12分
考点:本题主要考查导数的应用,研究函数单调性、确定函数最值、研究函数图象。
点评:利用导数研究函数单调性、确定函数最值、研究函数图象,是导数的基本应用。本题将“恒成立”问题转化成求函数最值问题,将函数零点问题,转化成研究函数单调性、求最值问题,凸显转化与化归数学的重要性。
科目:高中数学 来源:2010-2011学年湖北省天门市高三模拟考试(一)文科数学 题型:解答题
(本小题满分12分)
设函数,的图象的一条对称轴是直线.
(1)求;
(2)求函数的单调增区间;[来源:ZXXK]
(3)画出函数在区间[0,]上的图象.
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年广东省高三下学期二轮复习数学理卷 题型:解答题
(本题满分12分)
设函数
(Ⅰ)求的值域;
(Ⅱ)记BC的内角A.B.C的对边长分别为的值。
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年四川省高三第七次月考理科数学卷 题型:解答题
(本小题满分12分)
设函数(其中),且的图象在轴右侧的第一个最高点的横坐标为。
(Ⅰ)求的值。
(Ⅱ)如果在区间上的最小值为,求的值。
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科目:高中数学 来源:2010年河北省高二第二学期期末考试数学(文)试卷 题型:解答题
(本小题满分12分)
设函数在及时取得极值;
(Ⅰ)求与b的值;
(Ⅱ)若对于任意的,都有成立,求c的取值范围。
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