Question

已知下列命题：
①若

AB

=(3，4)，则

AB

按

a

=(-2，1)平移后的坐标为（-5，5）；
②已知M是△ABC的重心，则

MA

 +

MB

 +

MC

 =

0

；
③周长为

2

+1的直角三角形面积的最大值为

1

4

；
④在△ABC中，若

a

cos A 2

=

b

cos B 2

=

c

cos C 2

，则△ABC是等边三角形．
其中正确的序号是（将所有正确的序号全填在横线上）

②③④

．

Answer 1

分析：①据向量的可平移性得到平移后的向量的坐标，
②连接AM并延长交BC与点D，则D为BC的中点，且AM=

2

3

BC，利用三角形法则用向量

AB

和

AC

表示即可．
③因为L=a+b+c，c=

a2+b2

，两次运用均值不等式即可求解；或者利用三角代换，转化为三角函数求最值问题．
④利用正弦定理，求出sin

1

2

A=sin

1

2

B=sin

1

2

C，推出△ABC是等边三角形．

解答：解：①∵

AB

=(3，4)
∵向量是可平移的，平移后只改变起点、中的位置，不改变向量的坐标
∴平移后的坐标为（3，4），故错；
②连接AM并延长交BC与点D，则D为BC的中点，且AM=

2

3

BC，
由三角形法则

AM

+

BM

+

CM

=

AM

+

AM

-

AB

+

AM

-

AC

=3

AM

-

AB

-

AC

=3×

2

3

AD

-

AB

-

AC

=(

AC

+

AB

)-

AB

-

AC

=

0

故

MA

+

MB

+

MC

=

0

正确；
③直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，周长L为

2

+1，面积为s，
a+b+

a2+b2

=L≥2

ab

+

2ab

．
∴

ab

≤

L

2+ 2

．
∴S=

1

2

ab≤

1

2

（

L

2+ 2

）²
=

1

2

•[

(2- 2 )L

2

]²=

3-2 2

4

L²=

1

4

．故正确；
④∵

a

cos A 2

=

b

cos B 2

=

c

cos C 2

由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，得sin

1

2

A=sin

1

2

B=sin

1

2

C，
∴A=B=C⇒a=b=c，则△ABC是等边三角形，正确．
故答案为：②③④．

点评：本题考查向量的性质：向量是可以平移的，平移后与原向量相等；考查向量的三角形法则、平面向量基本定理和向量的表示；考查利用均值不等式解决实际；考查三角函数与正弦定理的应用，考查计算能力逻辑推理能力，常考题型．