Question

13．在平面直角坐标系xOy中，B（4，0），C（0，4）．点P是线段0B上异于0，B的一点，光线从点P出发，经BC上Q点反射，再经OC上R点反射后回到点P．若光线QR经过△OBC重心，则OP的长为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 如图所示，设P（t，0）（0＜t＜4）．可得△OBC的重心G$（\frac{4}{3}，\frac{4}{3}）$．则G关于y轴的对称点N$（-\frac{4}{3}，\frac{4}{3}）$．可得直线PN的方程：y-0$\frac{\frac{4}{3}-0}{-\frac{4}{3}-t}$（x-t），令x=0，可得R$（0，\frac{4t}{4+3t}）$．直线BC的方程为：y=-x+4．设点G关于直线BC的对称点为M（m，n），利用垂直平分线的性质解得M$（\frac{8}{3}，\frac{8}{3}）$．可得直线PM的方程为：y-0=$\frac{\frac{8}{3}-0}{\frac{8}{3}-t}$（x-t），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{8x+（3t-8）y-8t=0}\end{array}\right.$，解得Q．利用三点Q，G，R共线，可得斜率相等，解出即可．

解答 解：如图所示，
设P（t，0）（0＜t＜4）．
可得△OBC的重心G$（\frac{4}{3}，\frac{4}{3}）$．
则G关于y轴的对称点N$（-\frac{4}{3}，\frac{4}{3}）$．
可得直线PN的方程：y-0$\frac{\frac{4}{3}-0}{-\frac{4}{3}-t}$（x-t），令x=0，可得y=$\frac{4t}{4+3t}$，∴R$（0，\frac{4t}{4+3t}）$．
直线BC的方程为：y=-x+4．
设点G关于直线BC的对称点为M（m，n），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m-\frac{4}{3}}{n-\frac{4}{3}}×（-1）=-1}\\{\frac{m+\frac{4}{3}}{2}+\frac{n+\frac{4}{3}}{2}=4}\end{array}\right.$，解得m=n=$\frac{8}{3}$．M$（\frac{8}{3}，\frac{8}{3}）$．
可得直线PM的方程为：y-0=$\frac{\frac{8}{3}-0}{\frac{8}{3}-t}$（x-t），化为8x+（3t-8）y-8t=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{8x+（3t-8）y-8t=0}\end{array}\right.$，解得Q$（\frac{32-4t}{16-3t}，\frac{32-8t}{16-3t}）$．
由于三点Q，G，R共线可得：$\frac{\frac{32-8t}{16-3t}-\frac{4}{3}}{\frac{32-4t}{16-3t}-\frac{4}{3}}$=$\frac{\frac{4t}{4+3t}-\frac{4}{3}}{0-\frac{4}{3}}$，化为：3t²-4t=0，t＞0，
解得t=$\frac{4}{3}$．
∴|OP|=$\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了垂直平分线的性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、三点共线与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．