【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD= AD.E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°.
(1)在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由;
(2)若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°,求二面角P﹣CE﹣B的余弦值.
【答案】
(1)解:延长AB交直线CD于点M,
∵点E为AD的中点,∴ ,
∵ ,∴ED=BC,
∵AD∥BC,即ED∥BC.∴四边形BCDE为平行四边形,即EB∥CD.
∵AB∩CD=M,∴M∈CD,∴CM∥BE,
∵BE平面PBE,CMPBE∴CM∥平面PBE,
∵M∈AB,AB平面PAB,∴M∈平面PAB,故在平面PAB内可以找到一点M(M=AB∩CD),使得直线CM∥平面PBE
(2)解:∵∠ADC=∠PAB=90°,异面直线PA与CD所成的角为90°,即AP⊥CD又AB∩CD=M,
∴AP⊥平面ABCD.
又∠ADC=90°即CD⊥AD
∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥PD.
因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角,其大小为45°.
∴PA=AD.
建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设AD=2,则 .
∴P(0,0,2),E(0,1,0),C(﹣1,2,0),B(﹣1,1,0)
∴ , =(0,1,﹣2), ,
易知平面BCE的法向量为
设平面PCE的法向量为 ,则 ,可得: .
令y=2,则x=2,z=1,∴ .
设二面角P﹣CE﹣B的平面角为θ,
则 = = .
∴二面角P﹣CE﹣B的余弦值为 .
【解析】(1)延长AB交直线CD于点M,证明CM∥BE,即可使得直线CM∥平面PBE;(2)建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设AD=2,则 .求出平面的法向量,即可求二面角P﹣CE﹣B的余弦值.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用直线与平面平行的判定的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行.
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【题目】已知函数f(x)=sin2wx﹣sin2(wx﹣ )(x∈R,w为常数且 <w<1),函数f(x)的图象关于直线x=π对称. (I)求函数f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,f( A)= .求△ABC面积的最大值.
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【题目】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是( )
A.0<θ<
B.0<θ≤
C.0≤θ≤
D.0<θ≤
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【题目】某车间20名工人年龄数据如表:
年龄(岁) | 19 | 24 | 26 | 30 | 34 | 35 | 40 | 合计 |
工人数(人) | 1 | 3 | 3 | 5 | 4 | 3 | 1 | 20 |
(Ⅰ) 求这20名工人年龄的众数与平均数;
(Ⅱ) 以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图;
(Ⅲ) 从年龄在24和26的工人中随机抽取2人,求这2人均是24岁的概率.
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【题目】从某校高三年级随机抽取一个班,对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计,其频率分布直方图如图所示.若某高校A专业对视力的要求在0.9以上,则该班学生中能报A专业的人数为 .
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【题目】已知双曲线 的两条渐近线分别为l1 , l2 , 经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1 , l2 于 A,B 两点.若| |,| |,| |成等差数列,且 与 反向,则该双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知函数f(x)= .
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设a>0,证明:当0<x<a时,f(x+a)<f(a﹣x);
(3)设x1 , x2是f(x)的两个零点,证明:f′( )>0.
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【题目】已知向量 =(3,﹣1),| |= , =﹣5, =x +(1﹣x) .
(Ⅰ)若 ,求实数x的值;
(Ⅱ)当| |取最小值时,求 与 的夹角的余弦值.
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【题目】已知四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,E是BC中点,M是PD上的中点,F是PC上的动点. (Ⅰ)求证:平面AEF⊥平面PAD
(Ⅱ)直线EM与平面PAD所成角的正切值为 ,当F是PC中点时,求二面角C﹣AF﹣E的余弦值.
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