【题目】设函数f(x)=x3+ax2+bx+1的导数满足,,其中常数a,b∈R.
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)设,求函数g(x)的极值.
【答案】(1)6x+2y-1=0;(2)g(x)在x=0处取得极小值g(0)=-3,在x=3处取得极大值g(3)=15e-3.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由已知条件解出a,b,得到函数f(x)的表达式,切线方程的斜率即为该点导数值,由点斜式即可写出切线方程;
(Ⅱ)求g(x)导函数g′(x)=(-3x2+9x)e-x,可得出单调区间,从而得到极值.
试题解析:(1)∵f(x)=x3+ax2+bx+1,∴f′(x)=3x2+2ax+b,
则解得
∴f(x)=x3-x2-3x+1,∴f(1)=-,f′(1)=-3,
∴y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为
y-=-3(x-1),即6x+2y-1=0;
(2)由(1)知g(x)=(3x2-3x-3)e-x,
∴g′(x)=(-3x2+9x)e-x,
令g′(x)=0,即(-3x2+9x)e-x=0,得x=0或x=3,
当x∈(-∞,0)时,g′(x)<0,
故g(x)在(-∞,0)上单调递减.
当x∈(0,3)时,g′(x)>0,故g(x)在(0,3)上单调递增.
当x∈(3,+∞)时,g′(x)<0,
故g(x)在(3,+∞)上单调递减.
从而函数g(x)在x=0处取得极小值g(0)=-3,
在x=3处取得极大值g(3)=15e-3.
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【题目】椭圆离心率为,,是椭圆的左、右焦点,以为圆心,为半径的圆和以为圆心、为半径的圆的交点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的下顶点为,直线与椭圆交于两个不同的点,是否存在实数使得以为邻边的平行四边形为菱形?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
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【题目】已知抛物线关于轴对称,顶点在坐标原点,直线经过抛物线的焦点.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若不经过坐标原点的直线与抛物线相交于不同的两点, ,且满足,证明直线过轴上一定点,并求出点的坐标.
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【题目】已知f(x)是定义域为R的偶函数,f(-1)=3,且当x≥0时,f(x)=2x+x+c(c是常数),则不等式f(x-1)<6的解集是( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,在平面直角坐标系内从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y=ex于点Q1(0,1),曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2,依次重复上述过程得到一系列点:P1,Q1;P2,Q2;…;Pn,Qn,记点的坐标为(,0)(k=1,2,…,n).
(1)试求与的关系(k=2,…,n);
(2)求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|.
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【题目】已知函数的最大值与最小值之和为a2+a+1(a>1).
(1)求a的值;
(2)判断函数g(x)=f(x)-3在[1,2]的零点的个数,并说明理由.
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【题目】某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得如图柱状图:
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(1)求X的分布列;
(2)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?
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