Question

20．设函数f（x）=|x-1|+$\frac{1}{2}$|x-3|．
（1）作出函数图象，并求不等式f（x）＞2的解集；
（2）设g（x）=$\frac{{x}^{2}+m}{x}$，若对于任意的x₁，x₂∈[3，5]都有f（x₁）≤g（x₂）恒成立，求正实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）去掉绝对值，化简函数的解析式，作出函数的图象．
（2）由题意可得当x∈[3，5]时，f（x）_max≤g（x）_min，由于当x∈[3，5]时，f（x）_max=3，故g（x）的最小值大于或等于3．分当$\sqrt{m}$∈[3，5]、当$\sqrt{m}$∈（0，3）、当$\sqrt{m}$＞5三种情况，分别求得m的范围，综合可得结论．

解答 解：（1）函数f（x）=|x-1|+$\frac{1}{2}$|x-3|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5-3x}{2}，x＜1}\\{\frac{x+1}{2}，1≤x＜3}\\{\frac{3x-5}{2}，x≥3}\end{array}\right.$，
如图所示：
令$\frac{5-3x}{2}$=2，求得x=$\frac{1}{3}$；
令$\frac{x+1}{2}$=2，求得x=3（舍去）；
令$\frac{3x-5}{2}$=2，求得x=3；
故结合图象，由f（x）＞2的解集为{x|x＜$\frac{1}{3}$，或x＞3}．
（2）设g（x）=$\frac{{x}^{2}+m}{x}$，若对于任意的x₁，x₂∈[3，5]，
都有f（x₁）≤g（x₂）恒成立，
故当x∈[3，5]时，f（x）_max≤g（x）_min．
由于当x∈[3，5]时，f（x）_max=$\frac{3×5-5}{2}$=5，故g（x）的最小值大于或等于5．
∵m＞0，g（x）=x+$\frac{m}{x}$≥2$\sqrt{m}$，
①当且仅当x=$\sqrt{m}$∈[3，5]时取等号，
即m∈[9，25]时，g（x）的最小值2$\sqrt{m}$≥5，求得m≥$\frac{25}{4}$，
综合可得，m∈[9，25]．
②当$\sqrt{m}$∈（0，3），即0＜m＜9时，$\sqrt{m}$＜3，g（x）=x+$\frac{m}{x}$在[3，5]上单调递增，
g（x）的最小值为g（3）=3+$\frac{m}{3}$≥5，求得m≥6，
综合可得，m∈[6，9）．
③当$\sqrt{m}$＞5，即m＞25时，$\sqrt{m}$＞5，g（x）=x+$\frac{m}{x}$在[3，5]上单调递减，
g（x）的最小值为g（5）=5+$\frac{m}{5}$≥5，求得m≥0，
综合可得，m∈（25，+∞）．
综合①②③可得，正实数m的取值范为[6，+∞）．

点评 本题主要考查带有绝对值的函数，作函数的图象，函数的恒成立问题，求函数的最值，基本不等式的应用，属于中档题．