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【题目】如图,四棱锥的底面是平行四边形,的中点,.

(1)求证:平面

(2)若,点在侧棱上,且,二面角的大小为,求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)详见解析;(2).

【解析】

(1)设的中点,可得,所以,又由,可得平面.

(2)由二面角的定义找到二面角的平面角,得到,建系求得平面的一个法向量及直线的方向向量,利用公式求解.

(1)平行四边形中,设的中点,连结

因为的中点,所以

又由,得

所以,平行四边形中,,则

又由,且平面平面

平面

(2)由(1)知平面

平面

于是平面平面,连结

,可得

,又

所以平面

故二面角的平面角为

由此得

为原点,方向为轴的正方向,建立空间直角坐标系,

,由可知点

设平面的一个法向量为

设直线与平面所成角为

所以

练习册系列答案
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【题目】已知椭圆,该椭圆经过点,且离心率为.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)设是圆上任意一点,由引椭圆的两条切线,当两条切线的斜率都存在时,证明:两条切线斜率的积为定值.

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【题目】如图,在正四棱锥S-ABCD中,E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,动点P在线段MN上运动时,下列四个结论:①EP⊥AC;②EP∥BD;③EP∥平面SBD;④EP⊥平面SAC,其中恒成立的为( )

A.①③B.③④C.①②D.②③④

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【题目】在△ABC中,内角ABC所对的边分别为abc,已知cos2B+cosB=1-cosAcosC.

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(2)b=2,求△ABC的面积的最大值.

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【题目】

已知点A(2,0)B(2,0),动点M(x,y)满足直线AMBM的斜率之积为.M的轨迹为曲线C.

1)求C的方程,并说明C是什么曲线;

2)过坐标原点的直线交CPQ两点,点P在第一象限,PEx轴,垂足为E,连结QE并延长交C于点G.

i)证明:是直角三角形;

ii)求面积的最大值.

(二)选考题:共10请考生在第2223题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分

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【题目】某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y(单位:千元)的数据如下表:

年份

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

年份代号t

1

2

3

4

5

6

7

人均纯收入y

2.9

3.3

3.6

4.4

4.8

5.2

5.9

(1)求y关于t的线性回归方程;

(2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.

附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

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【题目】如图,四边形ABCD为菱形,ACEF为平行四边形,且平面ACEF⊥平面ABCD,设BDAC相交于点GHFG的中点.

(1)证明:BDCH

(2)若AB=BD=2,AE=CH=,求三棱锥F-BDC的体积.

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【题目】已知函数

)若函数的最小值为,求的值.

)证明:

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【题目】如图,在四棱锥中, ,且 , .

)求证:平面平面

)求直线与平面所成角的正弦值.

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