Question

在数列{a_n}中，a₁=a（a∈R），a_n+1=3S_n（n∈N^*），则数列{a_n}（　　）

• A、可以是等差数列
• B、既可以是等差数列又可以是等比数列
• C、可以是等比数列
• D、既不能是等差数列又不能是等比数列

Answer 1

分析：这是一道典型的含有a_n+1，S_n的递推公式来求通项公式的题目，利用公式 an=

s1                n=1 sn-sn-1                 n≥ 2

本题是先求出S_n，再由S_n求出a_n，要注意对n=1和n≥2进行讨论．

解答：解：由已知，a₁=a，a_n+1=3S_n=S_n+1-S_n，
得4S_n=S_n+1，
当a=0时，各项都为0，是等差数列；
当a≠0时，有

Sn+1

Sn

=4，即{S_n}是首项为a，公比为4的等比数列，
所以S_n=a•4^n-1，
又由 公式 an=

s1                n=1 sn-sn-1                 n≥ 2

得到a_n=

a                    n=1 3a•4n-2          n≥2

．
当a≠0，因为a₁=a，a₂=3a，a₃=12a，，
所以：

a2

a1

≠

a3

a2

，不是等比数列．
故选A．

点评：本题属于基础题目，运算上较为容易，另外需注意求出S_n之后，只要注意讨论n=1和n≥2的情形，进一步求出{a_n}的通项公式，用到的思想方法是分段讨论法