Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，，为的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）作出相关辅助线，利用中位线定理，即可求解。

（Ⅱ）建立适当的空间直角坐标系，利用向量的数量积即可求出二面角。

（Ⅰ）证明：取的中点，连接.连接，交于点，连接交于点，连接.因为为的中点，是的中点，所以.又，所以为的中点，所以为的中点，又为的中点，所以.

因为平面，平面，所以平面.

（Ⅱ）因为，，由余弦定理得，

，

所以.所以.因为平面，，

所以以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

设平面的法向量为，则即

令，得，所以.

因为平面的法向量为，

所以，

所以二面角的大小为.