Question

2．已知函数f（x）=|x-2|．
（1）解不等式f（x）+f（x+1）≤2；
（2）若a＞0，求证：f（ax）-af（x）≤2f（a+1）．

Answer 1

分析 （1）分段讨论解含绝对值的不等式；（2）利用绝对值不等式的性质：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|证明结论．

解答 解：（1）由题意，得f（x）+f（x+1）=|x-1|+|x-2|，
因此只须解不等式|x-1|+|x-2|≤2------------（2分）
当x≤1时，原不式等价于-2x+3≤2，即$\frac{1}{2}≤x≤1$；
当1＜x≤2时，原不式等价于1≤2，即1＜x≤2；
当x＞2时，原不式等价于2x-3≤2，即$2＜x≤\frac{5}{2}$．
综上，原不等式的解集为$\left\{{x|\frac{1}{2}≤x≤\frac{5}{2}}\right\}$．-------5 分
（2）由题f（ax）-af（x）=|ax-2|-a|x-2|．
当a＞0时，f（ax）-af（x）=|ax-2|-a|x-2|=|ax-2|-|2a-ax|≤|ax-2+2a-ax|=2|（a+1）-2|=2f（a+1）．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的性质，是一道中档题．