Question

已知函数f（x）=（2^x-a）²+（2^-x+a）²，x∈[-1，1]．
（1）当a=1时，求使f（x）=3的x的值；
（2）求f（x）的最小值；
（3）若关于x的方程f（x）=2a²有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令t=2^x-2^-x ，当a=1时，f（x）=t²-2t+4，由f（x）=3，可得t²-2t+1=0，解得t的值，可得x的值．
（2）令f（x）=g（t）=t²-2at+2a²+2=（t-a）²+a²+2，根据由于t 在[-1，1]上单调递增，求得t∈[-

3

2

，

3

2

]，再分当a＜-

3

2

时、当a∈[-

3

2

，

3

2

]时、当a＞

3

2

时三种情况，分别利用二次函数的性质求得g（t）的最小值．
（3）由题意可得方程t²-2at+2=0在[-

3

2

，

3

2

]上有解，即 2a=t+

2

t

．当t∈（0，

3

2

）时，里哦也难怪基本不等式求得2a的范围．再由 t+

2

t

为奇函数，可得t∈[-

3

2

，0)时，2a的范围，从而求得a的取值范围．

解答：解：（1）f（x）=2^2x+2^-2x-2a（2^x-2^-x）+2a² =（2^x-2^-x）²-2a（2^x-2^-x）+2a²+2，
令t=2^x-2^-x ，当a=1时，f（x）=t²-2t+4，
由f（x）=3，得：t²-2t+1=0，解得t=1，
即 2^x-2^-x=1，解得x=lo

g

(1+ 5 ) 2

．
（2）令f（x）=g（t）=t²-2at+2a²+2=（t-a）²+a²+2，
由于t=2^x-2^-x，在[-1，1]上单调递增，∴t∈[-

3

2

，

3

2

]，
当a＜-

3

2

时，g（t）在[-

3

2

，

3

2

]上是增函数，g（t）的最小值为g（-

3

2

）=2a²+3a+

17

4

．
当a∈[-

3

2

，

3

2

]时，函数g（t）的最小值为g（a）=a²+2．
当a＞

3

2

时，g（t）在[-

3

2

，

3

2

]上是减函数，g（t）的最小值为g（

3

2

）=2a²-3a+

17

4

．
（3）关于x的方程f（x）=2a²有解，即方程t²-2at+2=0在[-

3

2

，

3

2

]上有解．
而t≠0，∴2a=t+

2

t

，故当t∈（0，

3

2

）时，2a=t+

2

t

≥2

2

，当且仅当t=

2

时取等号，故此时a的范围为[

2

，+∞）．
又 t+

2

t

为奇函数，故当t∈[-

3

2

，0)时，a的范围为（-∞，-

2

]，
综上可得，a的取值范围是(-∞，-

2

]∪[

2

，+∞)．

点评：本题主要考查指数型复合函数的性质综合应用，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．