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14.在数列{an}中,已知a1=2,an+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$,求论证{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式.

分析 根据递推关系是求解得出$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{{a}_{n}}$-1],运用等比数列定义$\frac{\frac{1}{{a}_{n+1}}-1}{\frac{1}{{a}_{n}}-1}$=$\frac{1}{2}$=常数.可判断求解.

解答 解:∵an+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$,a1=2,
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{{a}_{n}}$-1],$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}-1$=$-\frac{1}{2}$,
∴$\frac{\frac{1}{{a}_{n+1}}-1}{\frac{1}{{a}_{n}}-1}$=$\frac{1}{2}$=常数.
{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是以$-\frac{1}{2}$为首项,以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列,
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-1=($-\frac{1}{2}$)×($\frac{1}{2}$)n-1=-($\frac{1}{2}$)n
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$
即an=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}-1}$

点评 本题利用数列的递推关系是求解转化为等比数列求解通项公式,属于容易题,关键是恒等变形得出需要的条件.

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