Question

14．在数列{a_n}中，已知a₁=2，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$，求论证{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 根据递推关系是求解得出$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{{a}_{n}}$-1]，运用等比数列定义$\frac{\frac{1}{{a}_{n+1}}-1}{\frac{1}{{a}_{n}}-1}$=$\frac{1}{2}$=常数．可判断求解．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$，a₁=2，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{{a}_{n}}$-1]，$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}-1$=$-\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\frac{1}{{a}_{n+1}}-1}{\frac{1}{{a}_{n}}-1}$=$\frac{1}{2}$=常数．
{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是以$-\frac{1}{2}$为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-1=（$-\frac{1}{2}$）×（$\frac{1}{2}$）^n-1=-（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$
即a_n=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}-1}$

点评 本题利用数列的递推关系是求解转化为等比数列求解通项公式，属于容易题，关键是恒等变形得出需要的条件．