Question

关于x的不等式组

x2-x-2＞0 2x2+(2k+5)x+5k＜0

的整数解的集合为A．
（1）当k=3时，求集合A；
（2）若集合 A={-2}，求实数k的取值范围；
（3）若集合A中有2013个元素，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当k=3时，由于第二个不等式没有整数解，可得A=Φ．
（2）我们易给出x²-x-2＞0的解集为{x|x＜-1或x＞2}，而方程2x²+（2k+5）x+5k=0的两根为-k和-

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．分类讨论-k和-

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的关系，再根据由不等式组的整数解为x=2，不难求出实数k的取值范围．
（3）当-k＜-

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时，应有A={-3，-4，…，-2015}，所以，-2016≤-k＜-2015，可得k的范围．当-k＞-

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时，A={-2，3，…，2014}，所以，2014≤-k≤2015，可得k的范围．再把以上所得的2个k的范围取并集，即得所求．

解答：解：（1）当k=3时，由于第二个不等式的解为-3＜x＜-

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，故满足条件的整数x不存在，故A=∅．
（2）由x²-x-2＞0可得x＜-1或x＞2．
∵不等式组

x2-x-2＞0 2x2+(2k+5)x+5k＜0

的整数解为x=2，
又∵方程2x²+（2k+5）x+5k=0的两根为-k和-

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．
①若-k＜-

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，则不等式组的整数解集合就不可能为{-2}；
②若-

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＜-k，则应有-2＜-k≤3．∴-3≤k＜2．
综上，所求k的取值范围为[-3，2）．
（3）当-k＜-

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时，A={-3，-4，…，-2015}，所以-2016≤-k＜-2015，得2015＜k≤2016．
当-k＞-

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时，A={-2，3，…，2014}，所以2014≤-k≤2015，得-2015≤k＜-2014．
所以实数k的取值范围为（2015，2016]，或[-2015，-2014）．

点评：解决参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类讨论、数形结合思想的应用，还要注意空集作为一个特殊集合与非空集合间的关系，在解题中漏掉它极易导致错解，属于中档题．