Question

【题目】设函数f（x）=|x﹣ |+|x+m|（m＞0）
（1）证明：f（x）≥4；
（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：由m＞0，有f（x）=|x﹣ |+|x+m|≥|﹣（x﹣ ）+x+m|= +m≥4，

当且仅当 =m，即m=2时取“=”，所以f（x）≥4成立．

（2）

解：f（2）=|2﹣ |+|2+m|．

当 ＜2，即m＞2时，f（2）=m﹣ +4，由f（2）＞5，求得m＞ ．

当 ≥2，即0＜m≤2时，f（2）= +m，由f（2）＞5，求得0＜m＜1．

综上，m的取值范围是（0，1）∪（ ，+∞）

【解析】（1）由m＞0，由f（x）的解析式利用绝对值三角不等式证得结论．（2）分当 ＜2时和当 ≥2时两种情况，分别根据f（2）＞5，求得m的范围，再把所得m的范围取并集，即得所求．
【考点精析】解答此题的关键在于理解绝对值不等式的解法的相关知识，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．